TRELIÇAS PLANAS (Parte 2)

RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS

É dada uma treliça plana, regular, de vão igual a 8,00 m e uma altura de 1,00 m, cujo peso total vale 1,25 kN. Determine a intensidade das forças nas barras da mesma, e defina quais são comprimidas e quais são tracionadas. Utilize o método dos nós.

tg θ = 1 / 4

θ = arctg (0,25)

θ = 14º

Agora vamos determinar as reações de apoio.

(1) ƩH = 0                    (2) ƩR = 0                               (3) ƩM = 0    

Ha = 0                          Ra - 1,25 + Rb = 0                       - 1,25 . (4) + Rb . (8) = 0

                                     Ra + Rb = 1,25 kN                      8 . Rb = 5

                                  * Sendo assim, temos que,           Rb = 0,63 kN   

                                     Ra + 0,63 = 1,25

                                     Ra = 0,62 kN 

Considerando um arrendondamento, podemos dizer que Ra = Rb = 0,63 kN

Vamos estimar quem esta comprimida e que esta tracionada. Seguindo as sugestões dadas anteriormente. Lembrando que somente após o cálculo confirmamos a real situação c/ precisão.

Vamos construir o diagrama com os vetores representando as forças de compressão ou tração sobre os nós. Separando - os para estudo. O ideal (sugestão) é que o faça individualmente.

Pronto! Vamos para o primeiro nó.

ƩFx = 0                                                           ƩFy = 0

Ha + FB2 - FB1.cos θ = 0                                      Ra - FB1y = 0 

0 + FB2 - (2,60).cos 14º = 0                              Ra - FB1 . sen θ = 0

FB2 = (2,60).cos 14º                                         FB1 . sen θ = Ra

FB2 = 2,52 kN                                                  FB1 = 2,60 kN

Temos então os valores em duas barras. Sendo que a barra FB2 sofre uma TRAÇÃO e que a barra FB1 um COMPRESSÃO, conforme previsto. No caso de ambas se os valores tivessem, neste caso, tido resultado negativo significa que seria o oposto do que foi estimado outrora.
Vamos partir para outro nó. vou segui para o nó B. Pelo fato de querer trabalhar, logo, com as reações. Bem como, lá também só tem duas incógnitas desconhecida, semelhante a esta que acabamos de fazer.

ƩFx = 0                                                           ƩFy = 0

- FB8 + FB9x = 0                                                Rb - FB9y = 0 

- FB8 + FB2 .cos 14º = 0                                   Rb - FB9 . sen θ = 0

FB8 = (2,60).cos 14º                                        FB9 . sen θ = Rb

FB8 = 2,52 kN                                                 FB9 = 2,60 kN

  (TRAÇÃO)                                                   (COMPRESSÃO)

Já era de se esperar os mesmos resultados para esta duas, dada a simetria de cargas e da própria treliça.
Vamos seguir para outro nó. Vou para o nó E, pois tenho neste duas incógnitas desconhecidas e já conheço FB1.
Gente, vejam que não estou colocando o plano cartesiano, certo de que você já entenderam que estamos trabalhando nele.
Este nó, exige uma pouco mais de atenção de você, pois todas a força nele estão inclinadas. 

ƩFx = 0                                                                  ƩFy = 0

FB1x + FB3x - FB4x = 0                                               FB1y - FB4y - FB3y = 0 

FB1.cos14º + FB3.cos14º-FB4.cos14º = 0                FB1.sen14º-FB4.sen14º-FB3y.sen14º = 0

(2,60).cos14º + FB3.cos14º-FB4.cos14º = 0           (2,60).sen14º-FB4.sen14º-FB3.sen14º = 0

FB3.cos14º-FB4.cos14º = - (2,60).cos14º               -FB4.sen14º-FB3.sen14º = -(2,60).sen14º

FB3.cos14º-FB4.cos14º = - 2,52                             -FB4.sen14º-FB3.sen14º = -0,63

(0,97).FB3 - (0,97) FB4 = - 2,52                              -(0,24).FB4.- (0,24).FB3 = -0,63  

FB3 - FB4 = - 2,59 kN                                             - FB4.- FB3 = -2,63 kN

FB3 -FB4 = - 2,59 kN

-FB4- FB3 = - 2,63 kN

- 2.FB4 = - 5,22

FB4 = 2,61 kN

(COMPRESSÃO)

FB3 - FB4 = - 2,59

FB3 - (2,61) = - 2,59

FB3 = 0,02 kN

(TRAÇÃO)

Para estas barras foi necessário alguns artifícios matemáticos na resolução. Construímos um sistema, perceberam. Isso comumente vai acontecer, principalmente com treliças planas de geometria mais "complexas".
Vamos para o nó C. Não vou seguir a mesma sequência anterior! (é uma decisão sua, não esqueçam). Neste nó, já conhecemos FB4.

ƩFx = 0                                                           ƩFy = 0

- FB7x + FB4x = 0                                               FB7x + FB4x - FB5 = 0

- FB7 . cos14º + FB4 .cos 14º = 0                      FB7 . sen14º + FB4 . sen14º - FB5= 0

FB7 . cos14º = FB4 .cos 14º                              FB7 . sen14º + FB4 . sen14º - FB5 = 0

FB7 = FB4                                                         FB5 = FB7 . sen14º + FB4 . sen14º

FB7 = 2,61 kN                                                 FB5 = 1, 26 kN

(COMPRESSÃO)                                          (TRAÇÃO)

E assim vamos determinando nó a nó, barra a barra. Só nos restam nesta treliça os nós D e F.

Vamos analisar ambos!
No nó F, já temos os valore de FB7 e FB9 restando apenas FB6. Ou seja, basta que determine em apenas um eixo. A ponto que o nó D, embora seja o nó com maior número de barras, percebam que ao passo que nós íamos determinado os demais iam reduzindo o número de incógnitas desconhecidas!
Acredito que vocês tenha compreendido. Então vou deixar esses dois com vocês.

Até a próxima
E lembrem - se se gostaram e/ou ficou alguma dúvida, ou sugestão. Deixe seu comentário!